數學的基礎

任何一個學問發展到一個相當豐富的程度,我們便會遇到一些更根本性和普遍性的問題,數學也不例外。數學的對象是甚麼?是一個怎樣的學習公具?它是怎樣運作的?它的局限在那裡呢?我們會用 "數學的三次危機" 作為一個架構,來介紹這些牽涉到數學基礎的問題。

第一次數學危機發生在(公元前540年)畢達哥拉斯發現 "勾股定理"(直角三角形的斜邊的平方等如其他兩邊的平方之和)時,在此之前數學界普遍認為所有數字都是有理數(即整數和分數),而不存在其他數字的類別。然而當畢達哥拉斯學派發現一斜邊為 1 的直角等腰三角形,其他兩邊不能表成有理數時,他們就無法接,亦不作任何嚴謹的處理。這個問題其實指向一些更根本的問題,例如在一條連續的數線上究竟有那些數字的類別呢?究竟這些作為混算最基本單位的東西,其性質為何?在往後的二千多年,這個問題也得不到完善的解決。中國數學家劉徵也發現了開方不盡數的問題,注重實際的中國人就用有理數去迫近它,但並沒有感到對數字性質的疑惑!直到十九世紀末,完整的實數(包括有理數和無理數)理論才由戴德金和康托建立出來。

第二次數學危機起源於微積分(後來的分析學)在十七世紀末的建立。牛頓和萊布尼玆是微積分的始創人,他們在創立微積分時都帶來了 "無窮小" 這個觀念,除之而來的就是 "連續性"的問題。空間是否可以不斷細分,細分到最後是 "零" 還是 "無窮小"? "連續性" 的問題又再一次勾起在一條連續的數線上來究竟有那些數字類別的問題?(那時數學的第一次危機還沒有解決!)但因為微積分的用處實在太多,大部分人都寧可暫時不理會這些較根本性的問題。後來在1817年波爾查諾放棄了 "無窮小"的觀念,而用 "極限" 的概念為微分和連續性作定義;1821年柯西還用極限的概念定義了連續函數的定積分,再加上戴德金和康托所建立的實數理論,總算完滿地解決了第二次數學危機。然而為進一步將微積分嚴格化及將數學建立在一個更穩固的基礎上,數學家開始發展 "集合論" 作為數學最後的基石!可是正正由於 "集合論" 觸發了第三次數學危機。

將一些不同的個體放在一起來考慮,這些個體所形成的整體就是一個 "集合"。一集合可以很清楚地介定你所要研究的對象,然後作出邏輯的分析及推理。例如要學習幾何就要研究 "點" 和 "直線"的集合,要學習數字的性質就要研究 "有理數"與 "無理數" 的集合等等。1902年英國的數學家羅素提出了關於 "集合論" 的 "羅素悖論",它的意思可以表達成以下形式:某地方官命令當地唯一的理髮師只為當地所有不替自己刮臉的人刮臉。那麼這個理髮師替不替自己刮臉呢?如果他不替自己刮臉,他是個不替自己刮臉的人,他應要替自己刮臉。如果他替自己刮臉,由於他只能為不替自己刮臉的人刮臉,他就不可替自己刮臉。如果 "被理髮師刮臉的人" 是一個集合,那麼這個理髮師屬不屬於這個集合呢?像這樣的集合如果在 "集合論" 中出現,這塊數學基石豈不是出現裂縫!後來策墨羅、弗蘭克及斯柯倫將 "集合論"公理化,建立了 "ZFS公理系統(公理集合論)",不容許有像 "羅素悖論" 這類集合出現在 "公理集合論",第三次數學危機才算解決了。

然而,當數學家有了 "公理集合論" 這塊基石後,就滿以為一切的數學命題都可以在這塊 '基石' 上判定真假的時候,兩個不能判別真假的數學命題( "連續統假設" 和 "選擇公理" )出現了,哥德爾甚至在1931年證明了 "不完全性定理":一般公理(邏輯)系統都有一些不能判別真假的命題。他和科恩其後分別証明了 "連續統假設" 和 "選擇公理" 就是這些在"公理集合論" 這塊基石上不能判別真假的命題!那麼情況變成這樣:例如你'相信' "選擇公理",你可以建立一個有 "選擇公理" 的公理系統,即在這系統堙A"選擇公理" 是真的,而所有由這 "選擇公理" 所演譯出來的結果都是真的;相反的如果你'不相信' "選擇公理",你可以建立一個沒有 "選擇公理" 的公理系統!即在這系統堙A"選擇公理" 是假的,而所有由 "選擇公理" 所演譯出來的結果都是假的!那麼甚麼才是絕對的真呢?數學不是一向是精確的求真工具嗎?數學不是求真的學問嗎?

數學一向給人的印象是它的計算結果與事實相符,與事實相符就是真,而一般來說的確如此。有人說二十世紀的科技進步一半要歸功於數學的發展並不是言過其實的。例如要計算火箭在發射後每一瞬間的速度,以確保它有足夠的速度能飛出大氣層就需要微積分的精確計算。然而數學作為一套精確的求真工具卻證明出有一些自己不能判別真假的命題!

然而這正好證明了數學已發展到相當成熟的階段:它能找到大量真理,卻又知道不能找到所有真理;它知道自己能做出怎樣的成積,亦知道自己的不足之處。數學的基礎就是建立在它清楚自身所用的是怎樣的工具,可以怎樣運用,及這工具的局限在那裡!在這基礎上,數學繼續創造新的工具,向真理邁進。