數學的發展

幾何(Geometry)...

幾何學源於農業生產所需要的土地和建築測量,"幾何"一詞是拉丁文"geometria",來自希臘文"土地"與"測量"。是一門研究形狀、立體和量度的學問。古代中國、埃及、印度、巴比倫和希臘都是它的發源地。從埃及的金字塔的建造看來,埃及人早在四五千年前已有不少對幾何的認識。巴比倫人的泥板中己有直角三角形、矩形和梯形的面積計算,還有柱體、六面體體積的計算問題和勾股定理(畢氏定理)。中國在公元前十一世紀商高時代已知勾股定理的特例(勾三、股四、弦五),公元前600年中國陳子已知勾股定理的一般式,而希臘畢達哥拉斯到了公元前540年才以發現勾股定理(所以稱為畢氏定理)而著名。公元前300年,歐幾里德編寫『幾何原本』,將希臘在公元前七世紀以來所累積的幾何知識整理在一嚴謹的邏輯系統當中,建立了著名的"歐幾里德幾何學(Euclidean geometry)"。公元1595年德國的皮蒂斯楚斯由拉丁文 "trigonometria" 創用 "三角學(Trigonometry)"一詞,是由拉丁字 "triangulum(三角形)" 和 "metricus(測量)的合併,即解三角形的意思,開始了對三角形的知識進行有名目和有系統的組織及研究。"1637年法國的笛卡兒發表了『幾何學』一書,將圖形放入坐標上,圖形因而與數字建立上關系,發展出"解析幾何學(Analytic geometry)"。1798年法國的蒙日出版了『畫法幾何學』專著描述在平面繪制立體圖象的一般方法,成為"畫法幾何學(Descriptive geometry)"的開創者。在十八世末十九世紀初俄國的羅巴切夫斯基、匈牙利的波爾約和德國的高斯個別獨立建立了"非歐幾里德幾何學(Non-Eulidean geometry)" ,將歐幾里德幾何學中第五公設─兩條平行線永不相交改為一定會相交,發展成為另一門無矛盾的幾何學。1745年歐拉寫成『無窮小分析引論』,開創了"微分幾何學(Differential geometry)"的先河,亦成為現代幾何學主要研究的對象。

 

代數(Algebra)...

代數一詞源於公元九世紀阿拉伯數學家花拉子米的著作 "ilm al-jabr wa'lmuqabalah",傳至歐洲後簡稱為"Algebra",意思是"還原與對消的科學"。它的發展可分為初等代數和抽象代數兩部分。初等代數主要研究某方程是否有解及求其所有根,它與算術(Arithmetic)的主要分別在於未知數的引入。一元二次方程的求根公式在花拉子米時代已經得到,公元十六世紀上半葉意大利的塔爾利亞得到一元三次方程的一般解,一元四次方程的一般解則由費拉里得到。1824年挪威的阿貝爾証明了一元五次方程不可能用根式求解,法國的伽羅瓦切底解決了代數方程的根式可解性問題,確立了 "群論(Group theory)",正式開拓了抽象代數的研究。抽象代數主要是研究代數運算規則的一般元素和適合這些元素的公理,從而定義各種代數結構的性質。公元1801年,高斯把一線性變換的全部系數作為一整體並用一個字母表示,孕育了 "矩陣(Matrix)" 這個概念,亦成為抽象代數所研究的其中一個對象。二十世紀四十年代起,"模論(Module)" 在 "線性代數(Linear algebra)" 推廣下得到進一步的發展。

 

分析學(Analysis)...

分析學的內容隨著數學的發展不斷變化。公元十七至十八世紀,分析學的對象主要是 "微積分(Calculus)" 和 "無窮級數(Infinite Series)" 。當時歐洲學者對圍繞面積、體積、曲線長度、物體重心和質點運動時的瞬間速度、曲上的切線及函數極值的問題做了大量的工作,以至英國的牛頓和德國的萊布尼茨各自獨立創立了微積分去解決這些問題。另外,三體問題、擺的運動和彈性理論等的數學描寫引出一系列的 "常數微分方程(Ordinary differential equation)" ,其中"二階常微分方程(Second order ordinary differential equation)" 是三體問題的重心。公元1747年達朗貝爾由對弦振動的研究導出弦振動的方程及其最早的解,成為 "偏微分方程(Partial differentiation equation)" 的開端。隨著微積分計算的嚴格化,十九世紀的分析學集中在 "單複變函數論(Theory of function of a complex varibale)"。由於對函數性質的一系列發現,到了二十世紀,"泛函分析(Functional analysis)" 成為分析學發展的一個特點,而 "多複變函數論(Theory of analytic functions of several variables)" 成為最有成果的一門。

 

概率論(Probability)...

概率論是研究隨機數量規律的學問,它起源於賭博問題。大概於十七世紀中葉開始,古典概率、等可能性、數學期望、加法定理、條件概率等基本觀念及工具逐步建立,但並沒有一般的表達形式,又缺乏有系統和嚴格的理論基礎。直到1713年瑞士數學家雃各布•伯努利的『猜度術』提出 "大數定律(Laws of large number)" ,成為概率論的開端。1812年拉普拉斯在他的『概率的分析理論』首先明確給概率古典定義,他又和高斯建立了關於 "正態分佈(Normal distribution)" 的理論。1867年俄國的切比雪夫建立了中心 "極限定理(Central limit theorem)"。概率隨後的發展主要是把概率問題化為分析問題,解決後再研究其概率意義,研究重點是極限分佈理論及通過概率分佈來研究隨機過程。1907年俄國的馬爾可夫相依隨機變量序列時,提出了 "馬爾可夫鏈(Markov chain)",1931年再由蘇聯的柯爾莫戈羅夫發展為 "馬爾可夫過程(Markov process)"。二十世紀開始,隨著科技的發展,出現了理論概率與應用概率的分化,但概率發展史說明理論與應用的關系實在密不可分。

 

數論(Theory of number)...

數論研究的對象是數字的規律和性質。希臘和中國很早就有這方面的知識。公元前四世紀希臘的歐幾里德分成為 1、質數和複合數並證明了有無窮多個質數,還給出了找兩個自然數最大公約數的方法,這方法與公元一世紀中國的『九章算術』用的方法一樣。公元三世紀希臘的丟番圖開始研究不定方程(係數為整數的方程),其中一次不定方程問題即一次同餘方程問題—— "ax≡c (mod m)" 在中國的『九章算術』也有記載。公元十三世紀,中國的秦九韶在其著作『數書九章』中解決了一次同餘式組求解問題,稱為中國剩餘定理,是古代數論研究的重大成就。數論又研究實數的種種有理逼近(Approximation)問題和特殊數類例如超越數(Transcendental number)。數論因應所採用的方法的不同而分為不同的分支理論。採用算術推導法來論証數學命題的稱為 "初等數論(Elementary number theory)"。十八世紀中葉開始,由於分析學的發展,將數論問題用分析學的方法去處理成為數論的另一分支理論: "解析數論(Analytic number theory)" 的開端。其中著名的有"哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)"——每個大於5的奇數是3個質數的和。"代數數論(Algebraic number theory)" 是數論一個重要分支,它以代數整數或代數數域為研究對象。其中著名的有 "費馬大定理(Fermat's last theorem)",這個定理的證明由英國的懷爾斯在1994年完成,結束了350年來的猜想。

 

近代數學...

拓扑學(Topology)是研究幾何圖形在一對一的相方連續變換下保持不變的性質的數學,它是幾何學分支出來的。著名的 "七橋問題(Seven bridges problem)" 可以說是拓扑學的先聲。

統計學(Statistics)明顯來自概率的發展,它是研究大量隨機現象的規律的數學。其中 "正態分佈(Normal distribution)" 是被廣泛應用的統計學工具。

運籌學(Operational research)發展自第一次世界大戰對高射炮系統利用的研究,是利用數學方法對人力和物力進行合理的策劃及運用,尋找最優化的管理及決策手段。線性規劃(Linear programming)就是一個實例。另外一個範疇就是 "博奕論(Game theory)" ,它是研究在競爭中是否存在制勝對方的最優策略及如何找到這些策略的理論。

混沌(Chaos)是研究非線性動力系統的無規則運動。1963年美國的氣象學家洛倫玆在『大氣科學』雜志發表了 "確定性的非週期流" 一文,指出氣候不能精確重演和長期天氣預報的不可能之間存在一種關聯,開拓發了對混沌數學的研究。一個有趣的例子就是 "分形(Fractal)"。