數學名題

(1)連續統假設(Continuum Hypothesis)

集合論始創人康托在 1874 年猜測在自然數集的基數(該集所有元素的總數,即所有自然數的總數。)與實數集的基數(即所有實數的總數。)之間沒有任何中間基數,這就是連續統假設。在公理集合論而言,這是一個不能判定真假的命題。

 

 

 

 

(2)選擇公理(Axiom of Choice)

這是由策墨羅所提出的一個有關集合論的公理。如果有一些非空集,而這些集合間沒有公共元素,就可以任意在每一個這些非空集中選出一個元素,組成一個新的集。在公理集合論而言,這是一個不能判定真假的命題。

 

 

 

(3)費馬大定理(Fermat's last theorem)

由費馬在 1637 年提出。在自然數 n>2 時,方程 沒有滿足 abc≠0 的整數解。這個定理的證明由英國的懷爾斯(及其學生泰勒)在1994年完成,結束了350年來的猜想。“

 

 

 

 

(4)哥德巴赫猜想(Goldbach's conjecture)

哥德巴赫 在 1742 年給另一位數學家歐拉中提出:每個大于 5 的奇數是 3 個素數(即質數)之和;歐拉則指出此結果可由每個大于 2 的 偶數是 2 個素數之和導出。直至前為止,這個猜想在 的偶數數值範圍內成立,但一直不能夠被證明對所有偶數成立。著名中國數學家陳景潤在這方面的研究有非常傑出的成就。

 

 

 

 

(5)七橋問題(Seven bridges problem)

一個遊人想由一個起點出發,不重複也不遺漏地走遍七座穚回到起點,這就是著名的七橋問題。數學家歐拉將問題化成一個 '一筆畫' 問題。他首先將原本的地圖化為頂點(A、B、C、D)與邊(線條)的連結(如圖),'不重複也不遺漏地走遍七座穚回到起點' 這問題變成了要一筆過劃完圖二。每個頂點都有結合度(經過某頂點的邊的總數),而頂點又分兩種,一種是起筆點和停筆點,另一種是中間經過點。

對於中間經過點,它們的結合度一定是偶數,因為必要有兩條邊一進一出。

對於起筆點和停筆點可有兩種程況:一、它們不是同一點,那麼它們的結合度都是奇數,因為除了經過它們的邊(偶數)外,必須要多一條邊作起筆和結束。二、它們是同一點,那麼它的結合度都是偶數,因為除了經過它們的邊(偶數)外,必須要多兩條邊作起筆和結束。

這樣 '一筆畫' 要成功,一則所有頂點的結合度都是偶數,二則只有兩個頂點的結合度是奇數。而在七橋問題的答案很明顯,由於在圖二所有頂點的結合度都是奇數,所以 '一筆畫' 是不可能成功的,即不可能一次過不重複也不遺漏地走遍七座穚回到起點。